Теңдеулер жүйесін шешу қабілеті тек мектепте ғана емес, іс жүзінде де пайдалы болуы мүмкін. Сонымен қатар, әр компьютердің пайдаланушысы Excel-те желілік теңдеулер үшін өз шешімдерін білмейді. Осы кестелік процессордың құралдарын осы тапсырманы әртүрлі тәсілдермен қалай орындау керектігін білейік.
Шешімдер
Кез келген теңдеуді оның тамыры табылғанда ғана шешуге болады. Excel бағдарламасында тамырларды табудың бірнеше нұсқасы бар. Олардың әрқайсысын қарап көрейік.
1-әдіс: Матрица әдісі
Excel құралдарымен сызықты теңдеулер жүйесін шешудің ең көп тараған жолы матрицалық әдісті пайдалану болып табылады. Ол өрнек коэффициенттерінен матрицаны құрудан, одан кейін кері матрицаны құрудан тұрады. Мына әдісті келесі теңдеулер жүйесін шешу үшін қолдануға тырысамыз:
14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21
- Матрицаны теңдеудің коэффициенті болып табылатын сандармен толтырамыз. Бұл сандар сәйкес келетін әрбір тамырдың орналасуын ескере отырып, кезекпен реттелуі керек. Егер кейбір өрнектерде тамырлардың бірі жоқ болса, онда бұл жағдайда коэффициент нөлге тең деп саналады. Егер коэффициент теңдеуде көрсетілмесе, бірақ тиісті түбір бар болса, коэффициент 1. Алынған кестені вектор ретінде белгілеңіз A.
- Сонымен қатар, теңдік белгісінен кейін мәндерді жазамыз. Оларды жалпы атаумен вектор ретінде көрсетіңіз B.
- Енді теңдеудің түп-тамырын табу үшін, ең алдымен, бар матрицаны табу керек. Бақытымызға орай, Excel бағдарламасында бұл мәселені шешуге арналған арнайы оператор бар. Ол шақырылды MOBR. Қарапайым қарапайым синтаксисі бар:
= MBR (массив)Аргумент «Массив» - Бұл, шын мәнінде, бастапқы кестенің мекенжайы.
Осылайша, параққа біз бастапқы матрицаның ауқымына тең бос ұяшықтардың аймағын таңдаймыз. Түймешікті басыңыз «Функцияны кірістіру»формула жолының жанында орналасқан.
- Жүгіру Функцияның шеберлері. Санатқа өтіңіз «Математикалық». Тізімде біз атауды іздейміз «MOBR». Табылғаннан кейін оны таңдап, түймені басыңыз. «ОК».
- Функция дәлелінің терезесі басталады. MOBR. Аргументтер саны бойынша бір ғана өріс бар - «Массив». Мұнда біздің үстелдің мекен-жайын көрсету қажет. Осы мақсаттар үшін жүгіргіні осы өріске орнатыңыз. Содан кейін біз тінтуірдің сол жақ батырмасын ұстап тұрамыз және матрицаның орналасқан парағындағы аймақты таңдаңыз. Көріп отырғаныңыздай, орынның координатасындағы деректер автоматты түрде терезеге енгізіледі. Осы тапсырма аяқталғаннан кейін, түймені басу ең айқын болады. «ОК»бірақ шаппаңыз. Бұл түймені басу пәрменді пайдалану үшін балама болып табылады Кіру. Бірақ, формуланың енгізілуін аяқтағаннан кейін массивтермен жұмыс істеу кезінде түймені баспаңыз. Кіружәне пернелер тіркесімін жасау Ctrl + Shift + Enter пернелер тіркесімі. Бұл әрекетті орындаңыз.
- Содан кейін, бағдарлама есептерді орындайды және алдын ала таңдалған аймақта шығатын кезде бізде матрица кері болады.
- Енді кері матрицаны матрица арқылы көбейту керек. Bбелгіден кейін орналасқан мәндердің бір бағанынан тұрады тең өрнектерде. Excel-дағы кестелердің көбеюі үшін де жеке функция бар, ол шақырылады Анам. Бұл сөзде келесі синтаксис бар:
= MUMNOGUE (Array1; Array2)Төрт ұяшықтан тұратын жағдайды таңдаңыз. Содан кейін қайта іске қосыңыз Функция шеберібелгішені басу арқылы «Функцияны кірістіру».
- Санатта «Математикалық»жүгіру Функцияның шеберлеріатты таңдаңыз «МҰННОЖ» батырмасын басыңыз «ОК».
- Функция дәлелінің терезесі белсендіріледі. Анам. Алаңда «Massive1» кері матрицаның координаттарын енгізіңіз. Мұны соңғы рет сияқты, жүгіргіні өріске орнатыңыз және тінтуірдің сол жақ түймесімен ұстап тұрыңыз, курсормен сәйкес кестені таңдаңыз. Осындай шара осы салада координаттар жасау үшін жүзеге асырылады «Massiv2», тек осы кезде біз баған мәндерін таңдаймыз. B. Жоғарыда айтылған әрекеттерден кейін біз қайтадан батырманы басуға асығыспаймыз «ОК» немесе перне Кірупернелер тіркесімін теріңіз Ctrl + Shift + Enter пернелер тіркесімі.
- Осы әрекеттен кейін теңдеудің тамыры бұрын таңдалған ұяшықта пайда болады: X1, X2, X3 және X4. Олар бірқатар сериялар бойынша ұйымдастырылады. Осылайша, біз осы жүйені шешкенімізді айта аламыз. Шешімнің дұрыстығын тексеру үшін, берілген жауаптарды тиісті тамырлар орнына түпнұсқалық білдіру жүйесімен алмастыруға жеткілікті. Егер теңдік сақталса, бұл ұсынылған теңдеулер жүйесі дұрыс шешілгенін білдіреді.
Сабақ: Excel кері матрицасы
2-әдіс: параметрлерді таңдау
Excel-те теңдеулер жүйесін шешудің екінші белгілі әдісі - бұл параметрді таңдау әдісін қолдану. Бұл әдістің мәні - керісінше іздеу. Яғни белгілі нәтижеге негізделген белгісіз дәлелді іздейміз. Мысалы, шаршы теңдеуді қолданайық.
3x ^ 2 + 4x-132 = 0
- Қабылдау мәні x тең 0. Ол үшін сәйкес мәнді есептеңіз f (x)келесі формуланы қолдану арқылы:
= 3 * x ^ 2 + 4 * x-132Мәннің орнына «X» нөмірі орналасқан ұяшықтың мекенжайын алмастырады 0біз үшін алдық x.
- Қойындыға өтіңіз «Деректер». Біз батырманы басамыз «Талдау» дегеніміз не?. Бұл батырма құралдар тақтасындағы таспаға орналастырылған. «Деректермен жұмыс істеу». Ашылмалы тізім ашылады. Ондағы позицияны таңдаңыз «Параметрді таңдау ...».
- Параметрді таңдау терезесі басталады. Көріп отырғаныңыздай, ол үш өрістен тұрады. Алаңда «Ұяшыққа орнату» формула орналасқан ұяшықтың мекенжайын көрсетіңіз f (x)біз бұрын біршама бұрын есептелген. Алаңда «Мән» нөмірді енгізіңіз "0". Алаңда «Мәндерді өзгерту» мән орналасқан ұяшықтың мекенжайын көрсетіңіз xбұрын біз үшін қабылданған 0. Осы әрекеттерді орындағаннан кейін түймесін басыңыз «ОК».
- Содан кейін, Excel параметрді таңдау арқылы есептеуді орындайды. Бұл пайда болған ақпараттық терезені хабардар етеді. Ол батырманы басу керек «ОК».
- Теңдеудің түбірін есептеу нәтижесі бізде берілген ұяшықта болады «Мәндерді өзгерту». Біздің жағдайда, біз көріп отырмыз x тең болады 6.
Бұл нәтиже мәннің орнына бұл мәнді шешілген өрнекте ауыстыру арқылы тексерілуі мүмкін x.
Сабақ: Excel параметрлерін таңдау
3-әдіс: Крамер әдісі
Енді теңдеулер жүйесін Крамер әдісімен шешуге тырысамыз. Мысалы, сол жүйені қолданып көрейік 1-әдіс:
14x1+2x2+8x4=218
7x1-3x2+5x3+12x4=213
5x1+x2-2x3+4x4=83
6x1+2x2+x3-3x4=21
- Бірінші әдіс сияқты, біз матрицаны жасаймыз A теңдеулер коэффициенттерінен және кестеден B белгісіне сәйкес келетін мәндер тең.
- Әрі қарай біз тағы төрт кестені жасаймыз. Олардың әрқайсысы - матрица көшірмесі. A, тек осы көшірмелерде бір баған кестемен ауыстырылады B. Бірінші кестеде - бірінші баған, екінші кестеде - екінші және т.б.
- Енді осы кестелердің детерминанттарын есептеу керек. Теңдеулер жүйесі барлық детерминанттар нөлден өзгеше болған жағдайда ғана шешімдерге ие болады. Excel бағдарламасындағы бұл мәнді қайта есептеу үшін бөлек функция бар - МЕПРЕД. Бұл сөздердің синтаксисі келесідей:
= MEPRED (массив)Осылайша, функция сияқты MOBR, жалғыз дәлел өңделетін кестеге сілтеме болып табылады.
Осылайша, бірінші матрицаның детерминанты көрсетілетін ұяшықты таңдаңыз. Алдыңғы әдістерден таныс батырманы басыңыз. «Функцияны кірістіру».
- Қосылған терезе Функцияның шеберлері. Санатқа өтіңіз «Математикалық» және операторлардың тізімі арасында сол жерде атын таңдаңыз MOPRED. Осыдан кейін түймесін басыңыз «ОК».
- Функция дәлелінің терезесі басталады. МЕПРЕД. Көріп отырғаныңыздай, ол тек бір ғана өріс - «Массив». Осы өріске бірінші айналдырылған матрицаның мекенжайын енгізіңіз. Ол үшін жүгіргіні өріске орнатыңыз, содан кейін матрицалық ауқымын таңдаңыз. Осыдан кейін түймесін басыңыз «ОК». Бұл функция алапты емес, бір ұяшықта нәтижені көрсетеді, сондықтан есептеуді алу үшін пернелер тіркесімін басу қажет болмайды Ctrl + Shift + Enter пернелер тіркесімі.
- Функция нәтижені есептеп, оны алдын ала таңдалған ұяшықта көрсетеді. Көріп отырғанымыздай, біздің жағдайда, детерминант болып табылады -740, яғни нөлге тең емес, ол бізге сәйкес келеді.
- Сол сияқты, басқа үш кестенің детерминанттарын есептейміз.
- Соңғы кезеңде бастапқы матрицаның детерминанты есептеледі. Бұл процедура бірдей алгоритм болып табылады. Көріп отырғанымыздай, бастапқы кестенің детерминанты да нөлге тең емес, яғни матрицаны невырожденен деп санайды, яғни теңдеулер жүйесі бар.
- Енді теңдеудің тамырын табудың уақыты келді. Теңдеудің түбірі тиісті трансформацияланған матрицаның детерминантының негізгі кестенің детерминантына қатынасына тең болады. Осылайша, өз кезегінде айналдырылған матрицаның барлық төрт детерминант саны бойынша бөлінеді -148бастапқы кестенің анықтамасы болып табылатын төрт тамыры бар. Көріп отырғаныңыздай, олар құндылықтарға тең 5, 14, 8 және 15. Осылайша, олар кері матрицаны қолданып тапқан тамырлар сияқты 1-әдісбұл теңдеулер жүйесін шешудің дұрыстығын растайды.
4-әдіс: Гаусс әдісі
Гаусс әдісін қолдану арқылы теңдеулер жүйесі де шешілуі мүмкін. Мысалы, үш белгісіз теңдеулердің қарапайым жүйесін алайық:
14x1+2x2+8x3=110
7x1-3x2+5x3=32
5x1+x2-2x3=17
- Кестеде қайтадан коэффициенттерді қайтадан жазамыз. Aбелгісінен кейін бос мүшелері тең - үстелге B. Бірақ бұл жолы біз екі кестені біріктіреміз, өйткені біз бұдан әрі жұмыс істеуіміз керек. Маңызды шарт - матрицаның бірінші ұяшығында A мән нөлге тең емес. Әйтпесе, жолдарды қайта реттеңіз.
- Екі қосылған матрицаның бірінші жолын төмендегі жолға көшіріңіз (анықтығы үшін бір жолды өткізіп жіберуге болады). Жолдағы алдыңғы ұяшықтағы бірінші ұяшықта келесі формуланы енгізіңіз:
= B8: E8- $ B $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)Егер сіз матрицаны басқаша жасасаңыз, онда формуланың жасушаларының мекен-жайлары сізде өзгеше мағынаға ие болады, бірақ сіз оларды осында ұсынылған формулалар мен суреттермен салыстыра аласыз.
Формула енгізілгеннен кейін ұяшықтардың бүкіл жолын таңдап, пернелер тіркесімін басыңыз Ctrl + Shift + Enter пернелер тіркесімі. Жиым формуласы жолға қолданылады және ол мәндермен толтырылады. Осылайша, біз бірінші жүйенің алғашқы екі коэффициентінің ара қатынасына көбейтілген алғашқы екінші жолдан шығып отырдық.
- Содан кейін алынған жолды көшіріп, оны төмендегі жолға қойыңыз.
- Жоғалған жолдан кейін алғашқы екі жолды таңдаңыз. Біз батырманы басамыз «Көшіру»қойындыдағы таспада орналасқан «Үй».
- Парақтағы соңғы жазбадан кейін сызықты өткізіп жібереміз. Келесі жолдағы бірінші ұяшықты таңдаңыз. Тышқанның оң жақ батырмасын басыңыз. Ашылған мәтінмәндік мәзірде меңзерді элементке жылжытыңыз «Арнайы қою». Іске қосылған қосымша тізімде позицияны таңдаңыз «Мәндер».
- Келесі жолда жиым формуласын енгізіңіз. Алдыңғы деректер тобының үшінші қатарынан үшінші және екінші қатардың екінші коэффициентінің қатынасына көбейтілген екінші жолды шығарады. Біздің жағдайда формула келесідей болады:
= B13: E13- $ B $ 12: $ E $ 12 * (C13 / $ C $ 12)Формуланы енгізгеннен кейін барлық серияларды таңдаңыз және пернелер тіркесімін пайдаланыңыз Ctrl + Shift + Enter пернелер тіркесімі.
- Енді Гаусс әдісімен кері айналымды орындау керек. Соңғы жазбадан үш жолды өткізіп жіберіңіз. Төртінші жолда жиым формуласын енгізіңіз:
= B17: E17 / D17Осылайша, біз есептеген соңғы жолды үшінші коэффициентіне бөлеміз. Формуланы тергеннен кейін бүкіл жолды таңдап, пернелер тіркесімін басыңыз Ctrl + Shift + Enter пернелер тіркесімі.
- Біз сызықты көтеріп, оған келесі жиым формуласын енгіземіз:
= (B16: E16-B21: E21 * D16) / C16Жиым формуласын қолдану үшін кілттердің әдеттегі тіркесімін басамыз.
- Біз тағы бір жолды көтереміз. Онда келесі формуладағы жиым формуласын енгіземіз:
= (B15: E15-B20: E20 * C15-B21: E21 * D15) / B15Тағы да, бүкіл жолды таңдап, төте жолды пайдаланыңыз Ctrl + Shift + Enter пернелер тіркесімі.
- Енді біз бұрын есептеген жолдардың соңғы блогының соңғы бағанында пайда болатын сандарды қарастырамыз. Бұл сандар (4, 7 және 5) осы теңдеулер жүйесінің негізі болады. Оларды мәндермен алмастыру арқылы тексере аласыз. X1, X2 және X3 өрнектерде.
Көріп отырғаныңыздай, Excel-те теңдеулер жүйесі бірнеше тәсілмен шешілуі мүмкін, олардың әрқайсысында өз артықшылықтары мен кемшіліктері бар. Бірақ бұл әдістерді екі үлкен топқа бөлуге болады: матрица және параметрді таңдау құралын қолдану. Кейбір жағдайларда матрицалық әдістер әрқашан проблеманы шешу үшін қолайлы емес. Атап айтқанда, матрицаның детерминенті нөлге тең болғанда. Басқа жағдайларда, пайдаланушы қандай опцияны өзі үшін қолайлы деп санайды.
